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How Beer’s Law predict “Best Color” density

Beer’s Law 如何預測 “最佳色彩” 濃度

我經常説的，影像輸出控制就這兩件事：滿版與中間調。

要搞定滿版，靠的是 Beer’s Law；要搞定中間調，靠的是曲線。不管是 PSO、G7、gmi…都是一樣的。

趁著準備教材，一次把Beer’s Law講清楚。

Beer’s Law (or Beer Lambert’s Law)原本是用來計算化學溶劑濃度的工具，至於為何會用來預測印刷放墨濃度，我的原始來源是RIT Prof. Bob Chung 的一個Excel Spreadsheet，看 spreadsheet 裏的註記，把它用來預測放墨濃度看來是 Prof. Franz Sigg 的手筆，順便提一下，GCR (Gray Component Replacement) 這個詞彙也是 Franz Sigg 定下來了的。

Fig. Beer’s Law 原本是用來計算化學溶劑濃度的工具。A 為吸收率，I0 為原始光量，I 為被溶劑吸收後的光量。

Fig. Beer’s Law 溶劑吸收率示意

至於如何轉化為印刷油墨濃度的推算，Excel 裏用的公式如下：

Rnm=10^(-((((-LOG(U$12))-(-LOG(U$11)))*$T14)+(-LOG(U$11))))*1

敘述如下：

光譜反射率nm=10^(-((((-LOG(油墨光譜反射率nm))-(-LOG(紙張光譜反射率nm)))*模擬修正量)+(-LOG(紙張光譜反射率nm))))*1

用的方式跟化學的溶劑計算不太一樣，是一種 Beer’s Law 轉化的應用，不是完全一樣的套用。

Beer’s Law 是用單一波長來對化學溶劑做濃度計算，在印刷油墨的應用，因光譜儀對油墨樣本以10nm間隔，從 380nm 到 730nm 總共取了 36 個單一波長樣本，如此，就可以用 Beer’s Law 套用在這36組單一光譜資料。我們對每一個單一波長以 Beer’s Law 做劑量加減模擬，最後重組這36組資料，就可以推測出模擬的Lab值及其濃度值；當找到與目標Lab值最接近的那組光譜值，也就可以算得出應該放的油墨濃度。

實際用數據來說明一下：

取一洋紅墨及其紙張樣本光譜。

Fig. 取一洋紅墨及其紙張光譜

計算出該洋紅墨Lab值為：44.92, 71.86, -1.65, 濃度為1.488， 與Fogra39 標準洋紅 Lab 48, 74, -3 色差 De76 3.98。

Fig. 洋紅墨樣本光譜

模擬一下在 430 nm 處加1個單元劑量，原本 430 nm 處光譜反射率為 0.1834，紙張在 430nm 處的反射率為 0.7733，每一個劑量設為0.015，套入公式：

模擬反射率430nm=10^(-((((-LOG(0.1834))-(-LOG(0.7733)))*(1+0.015*1))+(-LOG(0.7733))))*1= 0.1795

模擬一下在 430 nm 處減1個單元劑量：

模擬反射率430nm=10^(-((((-LOG(0.1834))-(-LOG(0.7733)))*(1-0.015*1))+(-LOG(0.7733))))*1= 0.1874

模擬一直加到15個單元及減15個單元得到430nm處的光譜模擬值為

Fig. 加15個單元到減15個單元在430nm處的光譜模擬值

Fig. 圖表顯示+15及-15個單元在430nm處模擬值(因資訊太密集，圖示為間隔3個單元的數據)

以+3單元為例，此邏輯推演到其它380nm~730nm，得到+3的光譜模擬數據為：

Fig. 380nm~730nm，+3的光譜模擬數據

+3單元光譜模擬分布曲線為：

Fig. +3單元光譜模擬分布曲線(綠色為原始曲線，紅色為+3模擬曲線)

同樣邏輯衍生到所有的+15到-15單元，數據如下：

依此數據取得所有30條模擬光譜分布曲線。

Fig. 從+15到-15單元，取得30條模擬光譜分布曲線。(因資訊太密集，圖示為間隔3個單元的數據)

從這30條模擬光譜分布曲線可以取得30組相應的 Lab值。這30組Lab值會有一組最接近我們的標準值：48, 74, -3。

由數據顯示，當模擬減2個單元時，取得Lab為 45.47, 71.32, -2.46，與標準值差 de76 3.721，濃度為1.448。 依此運算結果，從現在的濃度1.488降到濃度1.448時，色差可以從3.98降到3.72。

Fig. 由數據顯示，當模擬減2個單元時，取得Lab為 45.47, 71.32, -2.46，與標準值差 de76 3.721，濃度為1.448。

Fig. 依運算結果，從現在的濃度1.488降到濃度1.448時，色差可以從de76 3.98降到 de76 3.72。

這個案例修正量並不大，但 Beer’s Law 的運作邏輯已足以交代清除。

再簡單整理一下，當取得一個樣本資料時，以Beer’s Law 對每一單一光譜值(380nm~730nm in 10nm intervals)做加減劑量的模擬，串聯每單一光譜的模擬光譜值即可取得其光譜分布曲線進而計算出其Lab值及濃度值(此範例模擬-15到+15共30組模擬值)，在眾多的模擬Lab值中總有一個最接近我們的目標Lab，而其相應濃度就是我們應該下的濃度。

以此，我們可以用Beer’s Law來預測滿版的“最佳色彩”濃度值(Best Color)。